一、数学方面的能力该怎么培养 知乎

一、认清你的需要

为什么需要学习数学，这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论，需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的，所以你需要大体有一个目标和计划，合理安排时间。

1.1你的目标是精通数学、钻研数学，以数学谋生，你可能立志掌握代数几何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础，你需要准备大量时间和精力，拥有坚定不移的决心。（要求：精通全部三级高等数学）

1.2你的目标是能够熟练运用高等数学，解决问题，掌握探索新应用领域的武器，你可能立志进入计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第一级高等数学）

1.3你的目标是想了解数学的乐趣，把学数学作为人生一大业余爱好。那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。（精通第一级高等数学，在第二级高等数学中畅游，尝试接触第三级高等数学）

二、给自己足够的动力

学数学需要智力，更需要时间和精力。下面的几个事实相大家都深有体会：

1.凡是没有用的东西，或者虽然有用，但是你用不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课，你还记的清楚吗？

2.凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历，一本书，前三章看的很仔细，后面就囫囵吞枣，越看越快，反正既没意思也没用。

3.小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（你可以以此类推）。

因此，无论你的目标是什么，搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用，永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。

三、高等数学学什么？

好了，来看看标准大学数学的科技树：

一级：

线性代数（矩阵论），数学分析，近世代数（群环域），分别囊括了了几何、分析和代数的基础理论。别忘了还有概率论（建立在分析之上的一门基础学科）。

二级：

有了这些基础，接着是基础的基础、抽象和推广：测度论（积分的基础，当然也是概率论的基础），拓扑学（有关集合、空间、几何的一门极度重要的基础学科），泛函分析（线性代数的推广），复变函数（分析的推广），常微分方程与偏微分方程（分析的推广），数理统计和随机过程（概率论的推广），微分几何（分析和几何的结合）。

然后是一些小清新和应用学科：数值分析（算法），密码学，图形学，信息论，时间序列，图论等等。

三级：

再往上是研究生课题，往往是代数、几何和分析要一起上：微分流形、代数几何、随机动力学等等。

这个科技树的三级，和小学、初中、高中数学很相似，一层学不精通，下一层看天书。

四、如何学习

4.1适量做题

千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道，低级兵造几个就行了，要攒钱出高级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。

4.2了解思想

数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。举两个例子：

微积分的主线有这么几条：认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理：，这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子；SVD分解不仅在应用学科用有极为广泛的亮相，也是你理解矩阵的有力工具；矩阵是有限维空间上的线性算子，对"空间"的理解不仅能让你重新认识矩阵，更为泛函分析的学习开了个好头。

4.3渐进式迂回式学习，对比学习

很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。举两个例子：

外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，它是一种线性形式。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。

点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。首先你要读芒克里斯的旷世名著《拓扑学》，接着在读其他外国人写的书时，或多或少都会接触一些相关概念，你的理解就加深了，比如读Rudin的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。

4.4建立不同学科的联系

看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

4.5关注应用学科

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好说说一些优秀的专业书籍：

学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘；学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘；学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程进行图像序列的三维重建；学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己写了一个光线追踪器渲染真实场景，它的基础就是一点点微积分和矩阵......

高等数学的应用实在是太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。

4.6找有趣的书看

数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示"这个东西其实很有趣"，"这个东西完全不是你想的那个样子"等等，他们成功了；还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。

五、多读书，读好书

如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。因此这一步我想单独拿出来多说两句。

想必大家都十分精通并能熟练应用小学数学。想读懂代数几何，或者退一步，想读懂信息论基础，你就要挑几本好的基础教材，最好是外国人写的，像掌握小学数学那样掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。

如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。

每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。

要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。

5.1.推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）：

第一级：

《线性代数应该这样学》

卓里奇《数学分析（两册）》（读英文版吧，不难。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）

复旦大学《概率论》

第二级：

芒克里斯《拓扑学》

图灵丛书的一些分册

柯斯特利金《代数学引论》

Vapnik《统计学习理论的本质》

Rudin《数学分析原理》

Rudin《泛函分析》

Gamelin《复分析》

彭家贵《微分几何》

Cover《信息论基础》

第三级：

《微分流行与黎曼几何》

《现代几何学，方法与应用》三卷

5.2.阅读一些科普教材

《数学是什么》

《高观点下的初等数学》

《巴赫、埃舍尔、哥德尔》

《e的故事》

5.3.阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应用、文笔最易懂的教材和书籍

《费恩曼物理学讲义》三册

《混沌与分形：科学的新疆界》

《微分方程、动力系统与混沌导论》

《复分析：可视化方法》

最后想说，数学是一个无底洞，会消耗掉你宝贵的青春。一无所知的你可能励志搞懂现代数学，但是多会半途却步，同时剩下的时间又不够精通另一门科学。而且即使你精通纯数学，没有几篇好文章也并不容易找工作。

我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应用数学学科都看看，找到感兴趣、应用广泛、工作好找（来钱）的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实，编程能力也强的人就很有前途。

作者：王小龙

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来源：知乎

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二、刷抖音知乎能学到东西别傻了,你只是懒而已

 前不久看到一些文章说人为什么喜欢刷抖音啊，知乎啊，头条啊这些玩意。

  我身边不少人也喜欢刷那些，一刷刷几个小时甚至一天。不过他们有一个冠冕堂皇的理由——我能学到东西。

   好吧，恕我直言这种想法相当愚蠢，而且可笑。

   首先我得先来说一些概念。

    一.认知程度

    认知程度分两种，一种是浅层认知，一种是深层认知。

      浅层认知指了解事物的表面——比如我通过一篇文章或者一个十几分钟的视频知道了什么是伯努利原理，知道了它的起源和应用。

       但是你并不清楚到底如何理解它，你只是知道了有这么个玩意——让你实践运用往往就是一头雾水。

        深层认知就是指你不但明白如何运用它来解答各种相关题目，还明白与它相关的各种理论和题型，并且你能够利用它与其他工具进行解答。

         毫无疑问，只有深层认知才是真正对人有帮助的。因为只有深层认知你才能提高你的分数，才有可能用到实践中。

         浅层认知只是告诉了你有这么个玩意存在，但你并不会用——你根本理解不了背后那些复杂系统的东西，因为这些东西那些视频和文章不会花笔墨来讲。

         除非你开始系统地去学习，读相关书籍，看相关的课程。

          对于我们人来说，最好的方式当然是主要的科目或者我们擅长的领域进行深层认知，然后对其他的东西进行浅层认知——如果你不是这个专业的话，只是知道了一个所谓的伯努利原理，没错，你知道了它，你的知识增加了，然后呢？

          我想问你，然后呢？

          然后就什么都没有了，并且很快会忘记它——你现在能记得你三天前看得视频或者问答讲的知识吗？

          对百分之八十的人而言，就是如此。看——理解它——恍然大悟，露出原来如此的表情——觉得自己知识增加了——事实上确实如此——但是它对你进行自我提升其实并没有什么用——不出一周你就会忘。

         你不信?

       二.艾宾浩斯记忆曲线

       根据艾宾浩斯记忆曲线，人对知识的记忆是随着他们的重要程度和时间推移逐渐减少，也就是说，如果你不去复习，那么三天后你只能记得原来的百分之二十左右了。

      更重要的是，亲爱的，你告诉我你凭什么认为你通过抖音啊知乎啊这些东西看到的知识会比你其他东西重要呢？——大部分时候我们连死记硬背挂在脑门上的考试提纲都常常忘记呢。

      你觉得你又能记多久呢？难道你会每天把昨天看得抖音视频和知乎问答拿出来再看一遍?

      这么无聊的吗兄弟?那你也是个人才。昨天我看到一个哥们聊天他说想吃姨妈血浇的汉堡，我很想捶死他。

      三.碎片化的东西和思考，其实是一种本末倒置

      抖音就不说了好吧，那种爆炸的诱惑你自己甘愿被俘虏，想走出来下不了决心就别怪其他的了，我们来聊聊知乎和头条。

      知乎和头条上的很多文章和问答，它所呈现出来的知识和方法是碎片化的。你看了虽然会恍然大悟但是这就相当于给你一辆自行车然后没给你车把或者座椅，你上去骑，必然漏洞百出。

     碎片化的东西对人来说就相当于我前面说的浅层认知，对扩宽眼界有用，但你要说真正的自我提升，它无能为力。

     这么说，如果只是单纯看知乎抖音就能学到东西，成功的人为什么还是这么少呢？这么明显的捷径你能想到别人想不到吗？

    同样的，碎片化的东西看多了，会禁锢人的思维方式。

    你有大把时间却宁愿拿手机去刷抖音知乎而不去干点真正有用的事情或者去读一本真正的书。

    说白了，抖音知乎头条这些玩意就跟丹药差不多。你要是自己实力足够却找不到路子走上去看一看也许有机会突破。要是把丹药当饭吃，不但没法突破你的潜能也会被压制干净。

    因为你靠着这些玩意往前走，在生命实力的本质上是没有提升的，你还是原来那头小鹿。你靠着那些残缺的指引走到森林深处，你凭什么和那些老虎狮子抢资源?而你的时间也被浪费了，以后可能成功的机会又少了一分。

    所以，痴迷抖音知乎以为能学到东西，其实是一种相当愚蠢的想法，是一种本末倒置。

   因为你学到的那些知识只是浅层的东西，而且很快就会忘得一干二净。

   说白了，其实是懒。不知道自己想干嘛，就只能去看抖音知乎了。

   大部分人躺在床上思维回路是——想干点别的——那个太麻烦——我干这个别人会不会笑话我——那个又不知道怎么去干——算了，看看手机——五分钟后我就去干——然后一个小时过去了——然后一天过去了。

    对于自尊心强的人来说这种时候会产生一种失落和挫败感，然后他们就会破罐子破摔。

    但是就像所有开始学画画的人画得都不好一样，你去做任何一件你从来没实际接触的事情，又怎么可能做好?

    大部分人都受不了前期熬炼的那种痛苦，更别说等到以后的收获了。

    这里就得提出关于努力的一个概念。

    努力分两种，长期和短期。

    短期是一锤子买卖，你一手交钱一手交货——我花时间学一台机器的操作方法，一个下午的时间就能初步掌握。

     长期比如健身，读书，练字，这些东西最少也要一周才有可能看到微弱的成效。

     但是真正对人有决定性帮助，真正对自我提升有用的正是这些日复一日坚持下去的长期努力带来的契机和潜移默化得实力的增长。

      所以，很多时候，生活应该做减法，而不是做加法。你要真有那个精力想学东西，必须去看系统的书籍，真正去做一些事情。

     稳定，就等于死亡，慢性自杀。

      而不是打着学东西的旗号躺在床上刷一天的抖音和知乎，还有头条。

三、在知乎可以学到知识吗

可以。虽然拥有专业技能或知识领域可以让你在知乎上更受欢迎和有影响力，但并不是必须的。以下是一些方法可以帮助你在知乎上混下去：

成为一名优秀的提问者：学会提出有价值、有深度、有趣味性的问题，可以吸引其他用户的关注和回答。这需要你积极思考，对各种话题保持好奇心，并具备一定的问题筛选能力。

成为一名优秀的回答者：即使你没有专业技能或知识领域，你也可以通过回答其他用户提出的问题来展示自己的思考和表达能力。要注重答案的质量和原创性，同时注意避免涉及敏感或争议性话题。

参与社区讨论：知乎是一个开放的社区，你可以通过参与讨论、互动，与其他用户交流观点和分享想法。这有助于建立个人品牌和扩大社交圈子。

分享个人经验和见解：如果你有独特的经历或见解，可以将其分享给其他用户。这不仅可以增加你的曝光度，还可以帮助其他人获得启发和收获。

关注热门话题和趋势：了解当前社会的热门话题和趋势，并对其进行合理分析和评论，可以增加你的关注度和影响力。

总之，在知乎上混下去并不需要专业技能或知识领域，但需要你积极思考、善于表达、乐于分享，并具备良好的社交能力。